当社は埼玉県に本社をおく、測定機の "エスオーエル株式会社" です。 同名あるいは類似の企業名にご注意下さい。

ルジャンドル多項式とは?

こちらのページではルジャンドル多項式についてご紹介しています。


概要

ルジャンドル多項式(Legendre polynomial)は、直交多項式系と呼ばれるものの一つです。
精密測定において、便利に使うことができます。
例えば、フォトマスクの形状測定に使われます。 また、粗さ測定の高度な解析において使われることもあります。


そして何より、直交系という考え方が、測定技術において不可欠なのです。


こちらがルジャンドル多項式を並べてみたものです。

\[ P_0(x) = 1 \] \[ P_1(x) = x \] \[ P_2(x) = \frac{1}{2}(3x^2 - 1) \] \[ P_3(x) = \frac{1}{2}(5x^3 - 3x) \] \[ P_4(x) = \frac{1}{8}(35x^4 - 30x^2 + 3) \] \[ P_5(x) = \frac{1}{8}(63x^5 - 70x^3 + 15x) \] \[ P_6(x) = \frac{1}{16}(231x^6 - 315x^4 +105x^2 - 5) \]

( ... と続きます。)


そして、お約束の直交関係を書いてみましょう。

\[ \int^1_{-1} P_m(x) P_n(x) dx = \frac{2}{2n+1} \delta_{mn} \]

( このページの本当の目的は、実は MathJax の使い勝手を試すことだったりします... )



ルジャンドル多項式についてご紹介しているメルマガ記事として D-008. Legendre多項式とフォトマスク があります。



作り方

それでは、実際にそれぞれの多項式を直交化法によって作ってみましょう。


計算することは、最初に用意した基底 \[ \{ x^0 , x^1 , x^2 , x^3 , ... \} \] から、 直交基底 \[ \{ P_0(x) , P_1(x) , P_2(x) , P_3(x) , ... \} \] を作ることです。 ここで、内積を \[ (f(x) , g(x)) = \int^1_{-1}f(x) g(x) dx \] と定め、Gram-Schmidt の直交化法:

\[ f_n(x) = x^n - \sum^{n-1}_{k=0} \frac{( x^n, f_k(x))}{(f_k(x), f_k(x))}f_k(x) \]

に当てはめると、

\[ f_n(x) = x^n - \sum^{n-1}_{k=0} \frac{\int^1_{-1}f_k(x) x^n dx}{\int^1_{-1}\{ f_k(x) \} ^2 dx}f_k(x) \]

を計算することになります。 これで、直交系はできますが、x=1 のときの値を揃えた関数系にしたいので、

\[ P_n(x) = \frac{f_n(x)}{f_n(1)} \]

とします。


n=0 のとき:

\[ f_0(x)=x^0=1 \] \[ P_0(x) = \frac{f_0(x)}{f_0(1)} = 1 \]


n=1 のとき:

\[ f_1(x)=x^1-\sum^0_{k=0}\frac{\int^1_{-1}f_k(x)x^1 dx}{\int^1_{-1}\{ f_k(x) \} ^2 dx}f_k(x) = x-\frac{\int^1_{-1}x dx}{\int^1_{-1} dx} =x-0=x \] \[ P_1(x)= \frac{f_1(x)}{f_1(1)} = \frac{x}{1} =x \]


n=2 のとき:

\[ f_2(x)=x^2-\sum^1_{k=0}\frac{\int^1_{-1}f_k(x)x^2 dx}{\int^1_{-1}\{ f_k(x) \} ^2 dx}f_k(x) \] \[ = x^2- \frac{\int^1_{-1}f_0(x)x^2 dx}{\int^1_{-1}\{ f_0(x) \} ^2 dx}f_0(x) - \frac{\int^1_{-1}f_1(x)x^2 dx}{\int^1_{-1}\{ f_1(x) \} ^2 dx}f_1(x) \] となるので、積分を次のように計算します。 \[ \int^1_{-1}f_0(x)x^2 dx = \int^1_{-1}x^2 dx = [\frac{1}{3}x^3 ]^1_{-1} = \frac{2}{3} , \] \[ \int^1_{-1}\{ f_0(x) \} ^2 dx = \int^1_{-1} dx = [x]^1_{-1} = 2 , \] \[ \int^1_{-1}f_1(x)x^2 dx = \int^1_{-1}x^3 dx = [ \frac{1}{4}x^4 ]^1_{-1} = 0 , \] \[ \int^1_{-1}\{ f_1(x) \} ^2 dx = \int^1_{-1}x^2 dx = [\frac{1}{3}x^3 ]^1_{-1} = \frac{2}{3} . \] これらの計算結果を代入して、 \[ f_2(x) = x^2 - \frac{\frac{2}{3}}{2}\times 1 - \frac{0}{\frac{2}{3}}\times x = x^2 - \frac{1}{3} \] \[ P_2(x)= \frac{f_2(x)}{f_2(1)}= \frac{f_2(x)}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{2}f_2(x) = \frac{1}{2}(3x^2 -1) \]


n=3 のとき:

\[ f_3(x)=x^3-\sum^2_{k=0}\frac{\int^1_{-1}f_k(x)x^3 dx}{\int^1_{-1}\{ f_k(x) \} ^2 dx}f_k(x) \] を計算します。奇関数の積分は0になるので、0になることが分かった項は消していきます。計算を続けると、 \[ f_3(x) = x^3- \frac{\int^1_{-1}f_0(x)x^3 dx}{\int^1_{-1}\{ f_0(x) \} ^2 dx}f_0(x) - \frac{\int^1_{-1}f_1(x)x^3 dx}{\int^1_{-1}\{ f_1(x) \} ^2 dx}f_1(x) - \frac{\int^1_{-1}f_2(x)x^3 dx}{\int^1_{-1}\{ f_2(x) \} ^2 dx}f_2(x) \] \[ = x^3- \frac{\int^1_{-1}x^3 dx}{\int^1_{-1} dx} - \frac{\int^1_{-1}x^4 dx}{\int^1_{-1} x^2 dx}x - \frac{\int^1_{-1}(x^2 -\frac{1}{3})x^3 dx}{\int^1_{-1} (x^2 -\frac{1}{3})^2 dx}(x^2 -\frac{1}{3}) \] \[ = x^3 - \frac{\int^1_{-1}x^4 dx}{\int^1_{-1} x^2 dx}x = x^3 - \frac{ [\frac{1}{5}x^5]^1_{-1}}{ \frac{2}{3} }x \] \[ = x^3 - \frac{3}{2}\times 2 \times \frac{1}{5}x = x^3 - \frac{3}{5}x \] \[ P_3(x) = \frac{f_3(x)}{f_3(1)} = \frac{x^3 -\frac{3}{5}x}{1-\frac{3}{5}} = \frac{1}{2}(5x^3 -3x) \]


n=4 のとき:

\[ f_4(x)=x^4-\sum^3_{k=0}\frac{\int^1_{-1}f_k(x)x^4 dx}{\int^1_{-1}\{ f_k(x) \} ^2 dx}f_k(x) \] \[ = x^4 - \frac{\int^1_{-1}f_0(x)x^4 dx}{\int^1_{-1}\{ f_0(x) \} ^2 dx}f_0(x) - \frac{\int^1_{-1}f_1(x)x^4 dx}{\int^1_{-1}\{ f_1(x) \} ^2 dx}f_1(x) - \frac{\int^1_{-1}f_2(x)x^4 dx}{\int^1_{-1}\{ f_2(x) \} ^2 dx}f_2(x) - \frac{\int^1_{-1}f_3(x)x^4 dx}{\int^1_{-1}\{ f_3(x) \} ^2 dx}f_3(x) \] \[ = x^4- \frac{\int^1_{-1}x^4 dx}{\int^1_{-1} dx} - \frac{\int^1_{-1}x^5 dx}{\int^1_{-1} x^2 dx}x - \frac{\int^1_{-1}(x^2 -\frac{1}{3})x^4 dx}{\int^1_{-1} (x^2 -\frac{1}{3})^2 dx}(x^2 -\frac{1}{3}) - \frac{\int^1_{-1}(x^3 -\frac{3}{5}x)x^4 dx}{\int^1_{-1} (x^3 -\frac{3}{5}x)^2 dx}(x^3 -\frac{3}{5}x) \] \[ = x^4- \frac{\int^1_{-1}x^4 dx}{\int^1_{-1} dx} - \frac{\int^1_{-1}(x^2 -\frac{1}{3})x^4 dx}{\int^1_{-1} (x^2 -\frac{1}{3})^2 dx}(x^2 -\frac{1}{3}) \] \[ = x^4- \frac{1}{2}\times [\frac{1}{5}x^5]^1_{-1} - \frac{\int^1_{-1}(x^6 -\frac{1}{3}x^4) dx}{\int^1_{-1} (x^4 -\frac{2}{3}x^2 +\frac{1}{9} ) dx}(x^2 -\frac{1}{3}) \] \[ = x^4- \frac{1}{5} - \frac{ [\frac{1}{7}x^7 -\frac{1}{15}x^5]^1_{-1} }{[\frac{1}{5}x^5 -\frac{2}{9}x^3 +\frac{1}{9}x]^1_{-1}}(x^2 -\frac{1}{3}) \] \[ = x^4- \frac{1}{5} - \frac{\frac{2}{7} -\frac{2}{15}}{\frac{2}{5} -\frac{4}{9} +\frac{2}{9}}(x^2 -\frac{1}{3}) \] \[ = x^4- \frac{1}{5} - \frac{6}{7}(x^2 -\frac{1}{3}) \] \[ = x^4- \frac{6}{7}x^2 + \frac{3}{35} \] \[ P_4(x) = \frac{f_4(x)}{f_4(1)} = \frac{x^4- \frac{6}{7}x^2 + \frac{3}{35}}{1- \frac{6}{7} + \frac{3}{35}} = \frac{35}{8}(x^4- \frac{6}{7}x^2 + \frac{3}{35}) \] \[ = \frac{1}{8}(35x^4 -30x^2 +3) \]

ルジャンドル多項式の導出は、メルマガ記事 A-042. ルジャンドル多項式の作り方 の続きです。



トップへ戻る