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PID制御とラプラス変換

発行：エスオーエル株式会社
https://www.sol-j.co.jp/

連載「X線CTで高精度寸法測定！？」
2014年5月14日号　VOL.036

平素は格別のお引き立てを賜り、厚く御礼申し上げます。
X線CTスキャンによる精密測定やアプリケーション開発情報などをテーマに、
無料にてメールマガジンを配信いたしております。

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みなさま、お世話になっております。

今月も私が担当しているメルマガ配信の第2水曜日がやってきました。
毎月、配信日の直前（当日）に書いています。
たった1回分、余裕を持って書いておくことで、心に余裕ができるはずなのですが、
どうもできません。昔から夏休みの宿題は最終日にたくさん残っているタイプでした。

最初のメルマガ配信が 2009年2月10日 でしたので、実に5年以上続いています。
その間、弊社からの連載配信が 175通、その内の 62通を書いてきました。

これまで配信してきたメルマガは、文末のリンクから辿って、まとめ読みできます。
一部非公開となっているのは、直近の約1年分のアップが済んでいないことと、
弊社名物の「なみきごと」がメルマガ登録会員限定のためです。
後日、メルマガ登録会員専用のまとめ読みページを新設予定です。

さて、ここまで続けてきたメルマガの連載ですが。。。
書いても書いてもネタは尽きません！


今、X線CT装置TomoScopeに関連したホットな話題としてご紹介したいのは、
以前のメルマガでも言葉だけご紹介した「非弾性散乱（コンプトン散乱）」です。
昔よく計算したので、メルマガでも古典論から始めて、量子論にも触れて、、、
と夢は広がるのですが、どんな話の切り口にするか困っています。
勉強し直してみると、思っていた以上に、実に奥が深いものです。
コンプトン散乱がどうした！？と要点のみ知りたい方は、是非弊社営業へ。


そして、いよいよ今回の本題に。
前回は、積分変換の話に触れ、ラプラス変換が出てきたので、
PID制御とラプラス変換についてお話する予定でした。

でした。というのは、これもまた話の切り口に困ってしまい、
そればかりか、ラプラス変換の奥深さに今更ながら嵌まり始め、
1回分の文章にまとめるには、収拾がつかなくなってしまいました。

当初の目論見では、
TomoScopeで使われているPID制御（の拡張版）について触れ、
どんな制御で、どんな調整をしているのかお話しようと思っていました。
三次元測定機をベースにしているTomoScopeは、
三次元測定機と同じように制御の調整をしていますが、
実は（ちょっとした企業秘密の）ある調整がこんなことになっているんです！
と暴露しようと思いましたが、思い留まりました。
あまりにマニアック過ぎて、何が凄いのか伝わらないからです。


そんなことより、
今年発売の新しい TomoCheck HA は、CTの測定精度が
　　MPE E = ( 2.5 + L/150 )um
になりましたという宣伝の方が凄さが伝わるのだろうと思います。

でもこれも国内のユーザー様にとっては、あまりインパクトはないかもしれません。
これまでの TomoScope も精度保証が 4.5um でしたが、
（環境や調整の追い込みにもよりますが）実績値として、
1～2um の精度が出ているからです。

でも私自身、国内で TomoCheck HA の調整をどこまで追い込めるのか、
楽しみです。（是非ご注文を）


今回は、話が大きく逸れ、軌道修正が難しくなってしまいましたが、
PIDの調整の話に戻してみます。

PIDの調整には、いくつかのパターンを入力します。
最初の最初は、開ループでアンプのオフセット調整から始めますが、
続いて、閉ループにてステップ関数を入力します。

入力に対する出力を見て、オーバーシュートや振動、オフセットの具合から
P（比例動作）, I（積分動作）, D（微分動作）を中心に、
いくつかのパラメータを調整していきます。

自動チューニングもありますが、最後の微調整は、人の経験で追い込みます。
それぞれのパラメータの基本的性質を覚えて、経験を積めば、調整できます。


でもそれだけでは面白くないので、
ラプラス変換に立ち返って説明しようというのが、今回の主旨でした。

入力を R(s)、出力を Y(s) と書いて、
システムの内部構造を表す「伝達関数」を G(s) と書きます。

このとき、変数が s となっていますが、ここでラプラス変換が出てきます。
時間 t を変数とする入力や出力をラプラス変換して、
s という複素数を変数にしてしまいます。

前回お話したとおり、ラプラス変換した世界では、微分や積分が簡単になります。
そうすると、微分方程式で表されるシステムが、
視覚的にも分かりやすいブロック図で表現できてしまいます。

開ループは簡単で、
R(s) が G(s) に入って、Y(s) になって出てきます。
式で書くと、Y(s) = G(s)R(s) です。

閉ループは、
R(s) が G(s) に入る前に、（負の）フィードバック信号 F(s) を受けて E(s) となり、
その E(s) が G(s) に入って、Y(s) になって出て行く。
その Y(s) は、フィードバック部 H(s) に入って、フィードバック信号 F(s) になる。
という図式です。

数式で書けば、
　　Y(s) = G(s)E(s) と F(s) = H(s)Y(s) と E(s) = R(s) - F(s)
の連立なので、EとFを消去するために、
　　Y = GE = G(R-F) = G(R-HY) = GR-GHY
として、Yでまとめると、
　　Y = ( G / (1 + GH) ) R
となります。（途中から複素数sは略した）


で、ラプラス変換ですが、とうとう今回は、積分記号を使う前で「つづく」
のお時間となってしまいました。

この先には、sが複素数であることから、複素解析の世界が待っています。
複素解析の世界には、気分の良い（美しいと表現する人種がいる）定理の数々があります。

私のお気に入りは、解析接続の証明とか、楕円関数（楕円のことではない）の辺りです。

もはや何のメルマガか分からなくなってきましたが、
TomoScopeやこんな趣味をもつ私を今後とも宜しくお願い致します。


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高野智暢


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