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ルジャンドル多項式の作り方 
 
発行：エスオーエル株式会社 
https://www.sol-j.co.jp/ 
 
連載「X線CTで高精度寸法測定！？」 
2014年11月12日号　VOL.042 
 
平素は格別のお引き立てを賜り、厚く御礼申し上げます。 
X線CTスキャンによる精密測定やアプリケーション開発情報などをテーマに、 
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丁度 5年と2日前の 2009年11月10日、「Legendre多項式とフォトマスク」というタイトルで 
メールマガジンを書いて配信しました。 
 
Legendre多項式とフォトマスク 
 
今回は、先月の最後に少し触れた、「ルジャンドル多項式の作り方」をご紹介します。 
 
作り方はいろいろあります。 
　1. 天下り的に母関数を用意して、そこから各次数を生み出す。 
　2. 天下り的に公式（ロドリゲスの公式）を用意して、得たい次数について計算する。 
　3. 天下り的にある形の微分方程式を用意して、その解として構成する。 
 
天下り的というのを強調しましたが、それは、 
用意した出発点の背景の説明が面倒で、唐突に出てくることが多いためです。 
 
なぜその出発点に到達したかは説明可能ですが、 
山登りに似て、出発点という一つのポイントに行き着くまでのルートがいくつもあり、 
時間と労力を要しますので、天下り的に出発点まで行きましょうということです。 
（自宅から登山口まで歩く人は極めて稀です。） 
 
出発点（登山口）から説明したいこと（目的地、頂上）までが本題なので、 
出発点へは天下るのです。 
 
 
さて、今回お話しようと思うのは、 
　4. 内積をある形に定めて、（自然に）ルジャンドル多項式を作る。 
という方法です。 
 
ここで、「天下り的に内積をある形に定めて」とも言えますが、 
前回までのメールマガジンで、内積のお話をしましたので、 
どうしてその形の内積なのかはある程度説明できます。 
 
 
今、内積 (・,・) を 
 
　　( f(x), g(x) ) = ∫f(x) g(x) dx 
 
と定めます。（ただし、積分範囲は[-1,1]） 
 
天下らないように、説明を試みると、 
フォトマスクのように正方形の外形を持つ物の表面形状を 
山1つのモード、山2つのモード、山3つのモード、などと 
成分に分離しようと考えます。 
 
積分範囲を閉区間 [-1,1] に取っておけば、 
正方形の一辺の長さに合わせるには、スケールを調整するだけなので、 
閉区間 [-1,1] を考える自然な動機になります。 
 
内積を ∫f(x) g(x) dx としたのは、 
各 x に対して、f(x) と g(x)の値を掛けて、全てを足し上げるという 
内積の定義（前回のメルマガの＜定義2＞の拡張）にマッチしています。 
 
 
内積の形を決めたら、シュミットの直交化法を地道に実行するだけです。 
 
（計算過程は、煩雑になったので、メルマガでの配信を諦めました。） 
（そのうち、弊社のWebページにでもアップします。） 
⇒ Webページにアップしました。 ルジャンドル多項式とは？ 
 
 
直交化について、少しお話します。 
 
　ラジコンのヘリコプターを垂直に立てた丸太の上に着陸させることをイメージします。 
　皆さんは、どの方向から見て操縦しますか？ 
 
　真上から見られるといいですね。 
　でも、地上から確認するときは、真正面から見て 
　丸太の軸とヘリコプターが直線上に並んでいることを確認し、 
　次に90度視点を変えて、横から再び軸を確認するのではないでしょうか。 
 
　真上から見たって、左右と前後の直交方向で考えるはずです。 
 
　三次元測定機の操作をしていても、似たような状況に遭遇します。 
　球の頂点（北極）をプローブで接触しようとするには、 
　真正面と真横の2つの視点で軸を確認し、ゆっくりプローブを下していきます。 
 
直交した視点から状況を確認し、 
それぞれの方向で、残りどの位移動すべきかを判断するのがよいはずです。 
 
多項式展開も同じ原理です。 
 
　　f(x) = a + bx + cx^2 + dx^3 + ... 
 
という展開をして、x の各次数の係数を見るのも一つの方法です。 
でも、x^m と x^n がある意味で直交していなければ、 
その係数から必要な情報を読み取ることはできません。 
 
　ラジコンヘリを真正面と真後ろから確認しても、 
　真横からの確認をしなければ、丸太に着陸せずに、前方か後方に落ちてしまいます。 
 
n次のルジャンドル多項式を Pn(x) と書き、 
 
　　f(x) = a P0(x) + b P1(x) + c P2(x) + d P3(x) + ... 
 
と展開するとどうでしょう？ 
Pn(x) と Pm(x) が異なる次数では直交しています。 
なぜ、直交しているのか？ 
それは、内積をある形に定めて、シュミットの直交化法で、 
直交するように作ったからです。 
 
これでようやく、各係数から必要な情報を読み取ること、 
つまり、フォトマスクなどの四角い領域上のうねりについて、 
山何個分のモードが大きいのか、あるいは小さいのか が判別でき、 
どのモードを小さく抑え込むように製造工程を改善すべきがかコントロールできるのです。 


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高野智暢


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