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金属によるアーチファクトの原因

発行：エスオーエル株式会社
https://www.sol-j.co.jp/

連載「X線CTで高精度寸法測定！？」
2018年6月13日号　VOL.082

平素は格別のお引き立てを賜り、厚く御礼申し上げます。
X線CTスキャンによる精密測定やアプリケーション開発情報などをテーマに、
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X線CTで金属をスキャンすると、
アーチファクトと呼ばれる現象が目立ちます。

アーチファクトとは、本来の形状ではないものが
計算の結果として再現されてしまう現象です。

金属によるアーチファクトの原因を知り、対策しようとした場合、
X線と金属の物理現象の理解と、
X線透過画像を三次元に再構成するコンピュータアルゴリズムの理解の
両方が必要になります。

どちらにしても、数学を自在に使いこなせると見通しが良くなります。

それでは、金属のアーチファクトを理解するための
最初歩の計算をやってみます。


まず、微分方程式：

　　dI/dx = -μI

を考えます。
この方程式は、以前のメルマガで紹介しました。

A.017. X線の吸収と方程式

そして、方程式を解くと、

　　I = I0 exp(-μx)

になります。
x は X線が透過する厚み、μは吸収係数で、
I0 は X線の初期強度です。
I と書いたものは、X線強度ですが、x の関数になっていて、
I(x) と書けます。
そして、x=0 のときの I(0) が I0 という値になります。

さて、X線CT装置が現実世界から
コンピュータに取り込むことのできる情報は、

　　p = -ln(I/I0)

という量になります。
この p は、方程式の解から得られる式：

　　I/I0 = exp(-μx)

の両辺で自然対数を取り、両辺に (-1) を掛けた式の
左辺に当たります。

右辺はというと、

　　(右辺) = -ln{ exp(-μx) } = μx

になります。
もし、どんな場合でも p = μx となれば、話は簡単で、
現実世界から取り込んだ p という情報が直接、
透過距離 x に変換できることになります。

しかし、実際には、I という関数は、

　　I = ∫I0(E) exp{-μ(E)x} dE

となっているのです。

どうしてかというと、最初に与えた微分方程式は、
X線が単波長のときの式であり、
実際の I を求めるには、全ての波長について
足し上げる必要があるためです。

波長は連続的に値を取り得るので、
足し算が積分になっているという構造です。

このとき、現実世界から取り込める量の p は、

　　p = -ln { (∫I0(E) exp{-μ(E)x} dE)/(∫I0(E) dE) }

と書けます。
つまり、これが連続波長のときの p の式になります。


では、連続波長のときの p の式から、
単波長の場合の右辺を計算してみます。

I0(E) として、E = ε のときだけに値を持ち、
E ≠ ε では I0(E) = 0 となる状況を考えます。

　　(右辺) = -ln { (∫I0(E) δ(E-ε) exp{-μ(E)x} dE)/(∫I0(E) δ(E-ε) dE) }
　　　　　 = -ln { (I0(ε) exp{-μ(ε)x}) / I0(ε) }
　　　　　 = -ln ( exp{-μ(ε)x} )
　　　　　 = μ(ε) x

この計算より、
単波長であれば、p = μ(ε) x となることが分かります。


次に、μ(E) が定数で、μ(E) = μ という値のとき、
右辺の計算を進めてみましょう。

　　(右辺) = -ln { (∫I0(E) exp{-μx} dE)/(∫I0(E) dE) }
　　　　　 = -ln { exp{-μx} (∫I0(E) dE)/(∫I0(E) dE) }
　　　　　 = -ln{ exp(-μx) }
　　　　　 = μx

となります。
つまり、μが一定のときも、
p は、μ を比例定数として、透過距離 x に比例した値となります。


一方、X線が連続波長で、
μ(E) が定数ではなく、E について一般の関数となっているとき、
p = μx とはなりません。

そして、p≠μx では、
p から x を求めることが困難になります。
これが、X線CTで金属をスキャンした状況になっています。


もし、「X線CT装置の原理はどれも同じ」、
「ハードウェアが剛性高く、高精度に作ってあれば、アーチファクトが減る」
という考えで装置の評価を進めてしまうと、
重要なことを見過ごしていることになります。

X線CT装置を選定するに当たっては、
アーチファクトについて、十分留意する必要があります。


ところで、数学を使うと、見通しが良くなると言いました。
でも、ここまで読んでみると、簡単なことを小難しく複雑に
書いているようにも見えます。

でもそれは、人が書いた数式を見ているからです。

数式を書いた人は、既に頭の中に概念があって、
それを式で表現しようとした結果、こうなっているのです。

自分の中で数学的に概念を組み立てることができれば、
人が書いた数式をかいつまんだだけで、
つまり面倒な文章を読み飛ばしても、
相手が言っていることを理解することができるようになります。

ただ、ここまでそれっぽく書いてはいますが、
結局はメルマガの文章量を水増ししているだけとも言えます。
水増しされた情報の中から、何かポイントを掴んで頂けると幸いです。


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高野智暢