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球面SAGのテーラー展開

発行：エスオーエル株式会社
https://www.sol-j.co.jp/

連載「X線CTで高精度寸法測定！？」
2021年1月13日号　VOL.118

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仕事上、球面SAGのテーラー展開を使って計算する場面に、
時々遭遇します。

毎日のように使っていれば、忘れることなく、定着するのでしょうが、
使う頻度はそんなに高くありません。

でも、忘れたころに（なぜか本当にまるで忘れたころを狙っているかのように）
球面形状や球面波に関する計算が必要になり、
その計算工程の早い段階で、球面SAGの計算をせざるを得なくなります。


ちょっと考えると、
半径 r の球面から、境界が半径 h の円となる領域を切り取った場合、
その領域は、高さ z のお椀型の形状となり、

　　z = r - √(r^2 - h^2)

と書けることが分かります。
この z を球面SAGと呼んでいます。


さて、h に対して、r がとても大きい条件の下で、
具体的な計算をする必要のある状況に度々出会います。

そこで、x = h/r とおいて、

　　f(x) = √(1 - x^2) = (1 - x^2)^{1/2}

という関数を考えることになります。
こうすることで、

　　z = r - r f(h/r)

が計算できるようになります。
そして、この f(x) をテーラー展開します。

微分をオイラーの記法で D と表すことにします。。
（ D f が 1階微分、D^2 f が 2階微分 という具合に続きます。）

すると、以下のように計算できます：


f(0) = 1

D f(0) = (1/2)(-2x)(1 - x^2)^{-1/2} = -x(1 - x^2)^{-1/2} = 0

D^2 f(0) = -(1 - x^2)^{-1/2} - x(-1/2)(-2x)(1 - x^2)^{-3/2} = -1

D^3 f(0) = -(-1/2)(-2x)(1 - x^2)^{-3/2} - 2x(1 - x^2)^{-3/2}
　　　　　　- x^2 (-3/2)(-2x)(1 - x^2)^{-5/2} = 0

D^4 f(0) = -3(1 - x^2)^{-3/2} - 3x(-3/2)(-2x)(1 - x^2)^{-5/2}
　　　　　　- 9x^2 (1 - x^2)^{-5/2}
　　　　　　- 3x^3 (-5/2)(-2x)(1 - x^2)^{-7/2} = -3


従って、

　　f(x) = f(0) + D f(0)x + (1/2!)D^2 f(0)x^2
　　　　　　+ (1/3!)D^3 f(0)x^3 + (1/4!)D^4 f(0)x^4 + ...

なので、

　　f(x) = 1 - (1/2)x^2 - (1/8)x^4 + Ο(x^6)

となります。
これを z の式に戻すと、

　　z = r - r f(h/r)
　　　= -r { - (1/2)(h/r)^2 - (1/8)(h/r)^4 + Ο((h/r)^6) }
　　　= h^2 /(2r) + h^4 /(8r^3) + ...

になります。
そして、ほとんどの場合、最初の項で十分なので、

　　z = h^2 /(2r)

として計算を進めることになります。


　この式は、たまにしか使わないと忘れてしまうので、
　よく使っているときは、当たり前のように使っていて、
　時間が経ってから自分の計算を見直すと、
　あれ？これどうやって計算したのかな？計算間違えかな？
　と思ってしまうことがあります。

　その度に、テーラー展開の計算をしたノートを探して
　確認することになるので、いつものように、ネットにアップして、
　Googleで自分の書いた記事が検索できるようになると便利になります。


ちなみに、さらに高次の項まで計算する場合は、

　　g(x) = (1 + x)^α

をテーラー（マクローリン）展開しておいて、
x を -x^2 に置き換えて、α=(1/2) とするのが見通し良いです。

　　g(0) = 1

　　D g(0) = α

　　D^2 g(0) = α(α-1)

　　D^3 g(0) = α(α-1)(α-2)

　　D^4 g(0) = α(α-1)(α-2)(α-3)

なので、

　　(1 + x)^α = 1 + αx + (1/2!)α(α-1)x^2 + (1/3!)α(α-1)(α-2)x^3
　　　　　　　　　　+ (1/4!)α(α-1)(α-2)(α-3)x^4 + ...

と展開できて、x を -x^2 に置き換え、α=(1/2) とすると、

　　f(x) = √(1 - x^2)
　　　　 = 1 - (1/2)x^2 - (1/8)x^4 - (1/16)x^6 - (5/128)x^8 - ...

となります。


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高野智暢