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三角形の五心

発行：エスオーエル株式会社
https://www.sol-j.co.jp/

連載「X線CTで高精度寸法測定！？」
2022年3月23日号　VOL.133

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先月は、三角形の重心について書きました。

必ずしも1点で交わるとは限らなそうな3本の線が、
必ず1点で交わることを（伝聞ではなく、自分で確認して）知ると、
結構感動しますというお話でした。

三角形において、このような状況は、重心だけではありません。

よく知られているのは、三角形の五心です。
列記してみます：

【内心】それぞれの角の二等分線3本の交点
【外心】各辺の垂直二等分線3本の交点
【垂心】各頂点から向かい合う辺におろした垂線3本の交点
【重心】三角形の中線(各頂点とその向かい合う辺の中点を結ぶ線分)3本の交点
【傍心】1つの角の二等分線と残り2つの角の外角の二等分線の交点

こんなに奇跡的な状況がたくさん存在することに驚きますが、
冷静に考えると、それだけ三角形という条件が強力な縛りになっている
ということです。

内心、外心、重心について、とても有名な性質は、
「内心＝内接円の中心」「外心＝外接円の中心」
「重心は各中線を2:1に内分する」
というものです。


これらの五心を学んだばかりの人にとっては、
五心を知らない人や忘れてしまった人に対して、
「えっ、常識だよね」と思ってしまうかもしれませんが、

是非一度忘れてから、学び直して、感動を味わって欲しいです。

そんなに当たり前のことではありませんし、
よく人類はここまで辿り着いたものだなぁと思います。

あー昔そういうのやった覚えがあるなぁと思える人は、
とても幸福だと思います。
あと一歩、本を開いて、書いてある証明を追うだけでも価値があります。


高校生の頃、チェバの定理とかメネラウスの定理とかを
たくさん練習した記憶があります。

その他にも、三角形には膨大な性質があります。

全部覚え切ることは、きっとできませんが、
三角形の性質を知れば知るほど、奥の深さに驚かされます。

ちなみに、三角形の五心の他にも、
三角形の心と呼ばれるものはたくさんあります。

Encyclopedia of Triangle Centers にたくさん載っているということで、
見てみると、47,320 個もの記載があり、まだまだ増えているようです。

気が遠くなります。


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高野智暢