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平行六面体の体積と外積

発行：エスオーエル株式会社
https://www.sol-j.co.jp/

連載「X線CTで高精度寸法測定！？」
2022年6月8日号　VOL.136

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それでは予告通り、
平行六面体の体積と外積について書きます。

ベクトルの内積は、2つのベクトルを与えると、
スカラー（実数 とか）を返す演算でした。

ベクトルの外積は、2つのベクトルを与えると、
ベクトル（方向と大きさを持つもの）を返す演算です。


ベクトル a と b の外積 a×b は、
方向が a とも b とも垂直（a, b, a×b が右手系）で、
大きさが a と b が作る平行四辺形の面積です。

従って、ベクトル a と b のなす角度を θ とすると、

　　｜a×b｜ = ｜a｜｜b｜sinθ

です。（0≦θ≦π）


次に、3つのベクトル a, b, c を持ってきて、
平行六面体を作ります。

その平行六面体の体積 V(a,b,c) は、
底面積 ｜a×b｜ で、高さが ｜c｜cosφ なので、

　　V(a,b,c) = ｜a×b｜｜c｜cosφ

となります。
ただし、角度φは、a×b と c のなす角度です。

ここで、ベクトルの内積の式を思い出すと、

　　V(a,b,c) = c・(a×b)

と書けることが分かります。


それでは、V(a,b,c) を成分表示してみます。

ベクトル a, b, c は、
実数 a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3 を使って、

　　a = (a1, a2, a3)
　　b = (b1, b2, b3)
　　c = (c1, c2, c3)

と書けます。

ここで、x軸, y軸, z軸の単位ベクトルをそれぞれ
E1, E2, E3 と書くことにします。つまり、

　　E1 = (1, 0, 0)
　　E2 = (0, 1, 0)
　　E3 = (0, 0, 1)

ということです。
（ベクトルとスカラーの表記が分かりにくくてスミマセン。）

すると、例えば、ベクトル a は、

　　a = (a1)E1 + (a2)E2 + (a3)E3

のように書けるようになります。


V(a,b,c) という量の性質を調べてみると、
実数倍λに対して、

　　V(λa,b,c) = V(a,λb, c) = V(a,b,λc) = λV(a,b,c) 

が成り立っていたり、
ベクトル u を足した場合に、

　　V(a+u, b, c) = V(a,b,c) + V(u,b,c) 
　　V(a, b+u, c) = V(a,b,c) + V(a,u,c) 
　　V(a, b, c+u) = V(a,b,c) + V(a,b,u) 

が成り立っていたりします。
ついでに、

　　V(a,b,c) = V(b,c,a) = V(c,a,b)

も成り立ちます。


さて、V(a,b,c) を分解していくと、

　　V(a,b,c) = V(Σ[i] (ai)Ei, b, c) = Σ[i] (ai) V(Ei, b, c)

のように計算できます。
ここで、Σ[i] は、i = 1～3 の和を取る記号としています。

同様に、b と c についても分解し、

　　V(a,b,c) = Σ[i] Σ[j] Σ[k] (ai)(bj)(ck) V(Ei, Ej, Ek)

というところまで計算できます。

すると、単位ベクトル E1, E2, E3 が作る
平行六面体（立方体）の体積に係数を掛けたものの和
に分解できていることに気が付きます。

V(a,b,c) は、右手系のときに正、左手系のときに負としておくと、

　　V(E1,E2,E3) = V(E2,E3,E1) = V(E3,E1,E2) = 1
　　V(E1,E3,E2) = V(E2,E1,E3) = V(E3,E2,E1) = -1

となり、Ei, Ej, Ek のうちに同じベクトルがあるときは、

　　V(Ei, Ej, Ek) = 0

となります。
従って、V(a,b,c) の成分表示ができて、

　　V(a,b,c) = a1 b2 c3 + a2 b3 c1 + a3 b1 c2
　　　　　　　- a1 b3 c2 - a2 b1 c3 - a3 b2 c1

であることが分かります。

これは、V(a,b,c) を行列式で書くこともできることを示しています。
行列 M を

　　M[1,1]=a1, M[1,2]=b1, M[1,3]=c1,
　　M[2,1]=a2, M[2,2]=b2, M[2,3]=c2,
　　M[3,1]=a3, M[3,2]=b3, M[3,3]=c3.

とおくと、その行列式 det(M) がまさに

　　V(a,b,c) = det(M)

です。


ここまできて、ようやく外積の成分表示を書き下す準備ができました。

a×b の x成分「(a×b)1」を取り出そうとするときは、
a×b と E1 の内積を取ればよいです。

　　(a×b)1 = E1・(a×b) = V(a,b,E1)

なので、V(a,b,c) の成分表示に対して、
c1=1, c2=c3=0 を代入すればよくて、

　　(a×b)1 = a2 b3 - a3 b2

となります。同様に y成分と z成分も計算できて、

　　(a×b)2 = a3 b1 - a1 b3
　　(a×b)3 = a1 b2 - a2 b1

となります。つまり、

　　a×b = (a2 b3 - a3 b2, a3 b1 - a1 b3, a1 b2 - a2 b1)

であることが分かりました。


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高野智暢