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力積とは何か

発行：エスオーエル株式会社
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連載「X線CTで高精度寸法測定！？」
2022年11月9日号　VOL.141

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「科学は、Why に回答できたことは一切なく、
　How にしか回答したことがない」

という話を聞いたことがあります。

確かに本質を突いていると感じます。

では、What に答えることはできるかという疑問が出ます。

それは何（What）か？ に答えるには、
対応するものを既に知っている必要があります。


「力積とは何（What）か？」という問いには、
答えるのが難しいです。

「力積とはどのような（How）ものか？」という問いには
答えることができます。

力積は、力と時間の積で表されます。
そして、運動量を変化させるベクトル量のことです。

What に答えているように見えますが、
力積と力と時間と運動量の関係（How）に答えたに過ぎません。

では、「力、時間、運動量 とは、それぞれ何（What）か？」
に答えることができれば、
それらとの関係が明らかな「力積」についても
何（What）かを答えることができそうです。

しかし、力、時間、運動量 についても、
同じような意味で、What には答えられず、
How にしか答えることができません。


では続いて、「力」について考えてみます。
「力」を明確に表現した式は、
ニュートンの運動方程式（F = ma）です。

でもこれは、力 F が 加速度 a に比例するという
関係を示しただけです。

人は、「力」を理解しているから「加速度」を理解できるのか、
あるいはその逆なのかは、考えてみると面白い問いです。


　　私は、このような（蛇が自身の尻尾を噛んでいるような）
　　循環や再帰的な存在や概念が好きです。

　　典型的なのは、（以前にも書きましたが）実数の公理系です。

　　中学生の頃に読んだ「ゲーデル・エッシャー・バッハ」
　　という本の影響かもしれませんが、
　　この本が自分の趣味に合っていただけという気もします。
　　そう言えば、Lisp 好きもここからのような気がします。


先月の記事では、ニュートンの運動方程式を積分して、
エネルギーについての関係式を導いてみました。

今回は、ニュートンの運動方程式を積分して、
運動量についての関係式を導いてみようというのが、
本題です。


では、運動方程式を少し書き直して、

　　F = (d/dt){m(dx/dt)}

のように書き、両辺を時間で定積分してみます。
時間は、t1 → t2 とします。すると、

　　∫F dt = ∫(d/dt){m(dx/dt)} dt

なので、時間 t における運動量を

　　p(t) = mv(t) = m(dx/dt) 

のように記号で表現すると、右辺の積分は、

　　∫(d/dt){m(dx/dt)} dt = p(t2) - p(t1)

と計算でき、
左辺の積分がまさに「力積」と呼ばれる量 I なので、

　　I = p(t2) - p(t1)

になります。
これは、力積が運動量の変化であるという式です。


さて、今回の原稿は、何度も書き直して、結局、
書きたかったことを上手くまとめることができませんでした。

乱暴にまとめると、
ニュートン力学（質点の運動を記述する理論体系）において、
基本的な概念から、副次的に他の概念を導出していった後、
概念の主従を逆転させても体系に矛盾がないことを見て、
本質的なものは、特定の「何か」ではなく、
概念同士の「関係」に意味があるという主張ができれば面白い
と思ったのですが、そう甘くはなかったです。

また機会があれば、挑戦したいと思います。


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高野智暢