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ルジャンドル変換と双対性

発行：エスオーエル株式会社
https://www.sol-j.co.jp/

連載「X線CTで高精度寸法測定！？」
2024年5月22日号　VOL.A-0155

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双対性（そうついせい）という考え方が好きです。
これまで何度も使ってきましたし、実際役に立ちます。

例を挙げると非常にたくさんありますが、
分かりやすいものは、やはり、フーリエ変換です。

実空間と呼ばれる世界で考えると複雑で解くのが難しい問題も、
フーリエ変換で、周波数空間と呼ばれる裏世界で操作した後、
逆フーリエ変換で元の実空間に戻ってくると問題が解けている
という魔法のような手法です。

双対性というのは、
表世界と裏世界がお互いを支え合っているような状態です。


線形代数を勉強すると、
ベクトル空間とそれに作用する線形写像というものを考えます。

そして、線形写像の空間がやっぱりベクトル空間になっていて、
元のベクトル空間に対する「双対空間」と呼ばれるものになっています。


幾何学の問題を考えるとき、
大域的な性質（図形の全体的な性質）を調べるのに、
ホモロジーと呼ばれる理論を使うことがあります。

それとは違った視点で、
局所的な性質（図形の部分的な性質）を調べるのに、
コホモロジーと呼ばれる理論も使えます。

この、ホモロジー と コホモロジー は、裏表の関係で、
双対性で結びついていることが分かります。


裏のない表は存在できず、表のない裏も存在できない。
表と裏がそれぞれの存在を支え合っていて、
単独で存在する実体ではなく、関係性が意味を与えている
という感じです。


ルジャンドル変換という考え方も双対性です。
点と線の双対性をつなぐ変換というイメージです。

大雑把に言うと、点で表現された形を線で表現された形に
翻訳するのがルジャンドル変換です。

点 (x,y) で表現された曲線があるとします。

その曲線の接線 y = αx + β を考えたとき、
曲線の全ての点における接線を集めると包絡線によって
元の曲線が表現できることが分かります。

そこで、点 (x,y) の代わりに
接線の傾きαと切片βの組 (α,β) を使っても
その曲線を表現できるという仕組みです。


ルジャンドル変換は、ある関数が持つ変数の組を
もっと都合の良い変数の組に置き換えて考えるときに使えます。

熱力学では、たくさんの関数や変数が出てきます。
その関係性をつなぐのがルジャンドル変換です。

また、これまでメルマガで、
ハミルトニアンやラグランジアンのお話を何度か書きました。

これらハミルトニアンとラグランジアンをつなぐのも
ルジャンドル変換です。


　　当社では、ルジャンドル多項式という直交多項式系を
　　よく使います。

　　可算無限で考えるフーリエ級数を
　　非可算無限に拡張するとフーリエ変換になります。

　　名前からその類似で、ルジャンドル多項式を拡張すると
　　ルジャンドル変換になりそうですが、
　　同じ数学者の名前が由来でも、
　　ルジャンドル多項式とルジャンドル変換は別物です。


今回は、何も参照せずに、記憶にあるお話を適当に書いたので、
間違いが含まれているかもしれませんが、
楽しいお話だと思って読んで頂ければ幸いです。


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高野智暢