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表面形状の微分

発行：エスオーエル株式会社
https://www.sol-j.co.jp/

連載「知って得する干渉計測定技術！」
2010年4月10日号　VOL.014

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以前のメールマガジンで、「ハーモニック解析と加速度解析」をご紹介しました。

そこでは、あたかも表面形状の関数が分かっているものとして、説明してあります。
関数が分かっているなら、「その2階微分を計算して、加速度を出しています」
という説明も納得できます。

しかし、実際には様々な表面形状があり、
その関数を完全に求めてから解析という訳にはいきません。

では、関数形の未知な表面形状をどうやって微分しているのでしょうか。


まず、表面形状はどのようなデータとして扱われているかを考えます。
理想的には、表面上の位置 (x,y) を指定すると、
高さ z が定まる連続データが得られていれば良いのですが、
実際は、CCDカメラの各ピクセル (i,j) に対して離散的な 高さ Z しか得られていません。

ますます疑問は深まります。
連続関数の微分は分かるが、離散データなのに微分？を考えることになり、混乱してきます。

答えを言うと、離散データの微分に当たるものは、差分になります。


では、実際にどのような計算をしているかを見ていきましょう。

3×3ピクセルの高さデータとして、

Z(1), Z(2), Z(3)
Z(4), Z(5), Z(6)
Z(7), Z(8), Z(9)

が得られていると考えます。

実際には、全部で512×512ピクセルのデータがあるのですが、
そのうちの3×3ピクセルに注目しています。

今、真ん中のピクセル（Z(5)の位置）における局所勾配を計算します。
各点における局所勾配を計算することが、まさに表面形状の微分になるわけです。
その計算は、以下のような差分になります。

X方向:
⊿X(5) =｛2×Z(6) － 2×Z(4) ＋ Z(3) ＋ Z(9) － Z(1) － Z(7)｝/（ピクセル間距離）

Y方向:
⊿Y(5) =｛2×Z(8) － 2×Z(2) ＋ Z(7) ＋ Z(9) － Z(1) － Z(3)｝/（ピクセル間距離）

傾きベクトルの大きさ:
⊿XY(5) = √{ ( ⊿X(5) )^2 ＋ ( ⊿Y(5) )^2 }

そして、傾きベクトルは、
（⊿X , ⊿Y）
となります。


差分と聞いて、この式を見ると、あれ？っと思うかもしれません。
差分なら、⊿X(5)を求めるのに Z(6) と Z(4)、⊿Y(5)を求めるのに Z(8) と Z(2)
の差をそれぞれ見れば十分なのに、それ以外のピクセルのデータも入っています。

この計算は、少しややこしく見えるかもしれませんが、
周りのデータも適切に重み付けして考慮した、より良い計算方法です。

画像処理工学的（数学的）に言うと、Sobel演算を作用させたことになります。


全ピクセルで同様の計算を行えば、微分した形状となり、
後は、その最大値を見付けたり、平均値を出したりするのは、簡単です。

今回は、表面形状の微分について解説しました。


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高野智暢