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フリンジ ゼルニケ 
 
発行：エスオーエル株式会社 
https://www.sol-j.co.jp/ 
 
連載「知って得する干渉計測定技術！」 
2016年2月10日号　VOL.105 
 
平素は格別のお引き立てを賜り、厚く御礼申し上げます。 
干渉計による精密測定やアプリケーション開発情報などをテーマに、 
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丁度、弊社の中村と入れ替わりでドイツに出張しました。 
彼の出張最終日が私の出張初日で、 
その日のそれぞれの仕事が終わった後、いろいろ話をしました。 
彼がいた期間は、最低気温 -10℃ で寒さが厳しかったとのことですが、 
私がドイツに到着した日から暖かくなったようで、 
ドイツに到着して、着込んでいった服で暑いという状態でした。 
 
さて、ドイツでは多くの人と話して来ましたが、 
あるエンジニアと、9年前に彼の長女にあげた折り鶴の話になりました。 
その子は、折り鶴をとても気に入ったようで、 
大事にとってあるとのことでした。 
 
今回その長女とは再会できませんでした（習い事で外出中でした）が、 
当時2歳だった彼の長男と再会しました。 
 
Ich freue mich, Sie kennen zu lernen （はじめまして）ではなく、 
Ich freue mich, Sie wieder zu sehen （再びお会いできて嬉しいです） 
と挨拶しました。彼は私を覚えていませんでしたが。 
 
そして今度は、長男に紙で作った 24面体 をプレゼントしました。 
これは大変好評で、その後追加で 60面体 を作ってプレゼントしました。 
（子供だけでなく、大人にも好評でした。） 

その時の多面体の写真を記事の最後に添付しますので、見て下さい。
 
多面体を久しぶりに作りましたが、 
やはり幾何学的構造物に触れているのは、非常に楽しいと感じました。 
 
自分が三次元測定機を扱っていて楽しいと感じるのも、 
おそらく幾何学に興味があるからです。 
 
出来た 60面体 や 24面体 を手に取って見ていると、 
たくさん疑問が湧いてきて、 
いろいろ調べたり、計算したりと熱中してしまいました。 
 
何年か前に突然思い立って、 
3次元の正多面体が5種類しかないことの証明を自力でやってみましたが、 
正多面体を拡張して、どんな種類の多面体が 
3次元あるいはn次元空間上で存在し得るのか考え始めたら、 
思った以上に奥が深く、今後の楽しみが増えました。 
 
今回作った 24面体 は、正8面体に三角錐を張り付けた形、 
60面体 は、正20面体に三角錐を張り付けた形です。 
 
（次は、正12面体に五角錐を張り付けた 別の60面体 の作成を計画しています。） 
 
正20面体と言えば、数学者クラインの書いた 
「正20面体と5次方程式」という本があります。 
正20面体 とタイトルに書いてあるのに、絵がない、文章と数式だけの本です。 
（最後に1枚だけ平面図の挿絵があります。正20面体の絵は皆無です。） 
内容は、群論について詳しく書かれています。 
正20面体 のようにある対称性をもったものが、 
方程式とどう関係しているのかが書いてあります。 
 
 
すっかり、このメルマガのタイトルに書いたゼルニケを 
忘れるところでしたが、上記のWebにもアップしたように、 
ゼルニケ多項式も綺麗なある対称性を持っています。 
 
トロペル社のTMSという平面度測定機用のソフトウェアには、 
ゼルニケ多項式の解析機能が入っており、それでプロットを出しました。 
 
トロペル社は、レンズメーカーでもありますので、 
内部で自分たちの干渉計を使い、TMSで解析しています。 
彼らは、干渉計として平面度測定機は販売しますが、 
競争力の源泉であるレンズ測定用の干渉計は販売していません。 
 
TMSには、数あるゼルニケ多項式の表現の中で、フリンジ ゼルニケ の他、 
光学設計で有名なソフトウェア Code V の ZRN や ZFR にも対応しています。 
 
Webにアップしたプロット図は、フリンジ ゼルニケ の順序で並んでいます。 
では、参考までに フリンジ ゼルニケ の式も順番に列記してみます。 
 
 
【 1】　1 
【 2】　R cosθ 
【 3】　R sinθ 
【 4】　2R^2 - 1 
【 5】　R^2 cos(2θ) 
【 6】　R^2 sin(2θ) 
【 7】　(3R^2 - 2)R cosθ 
【 8】　(3R^2 - 2)R sinθ 
【 9】　6R^4 - 6R^2 + 1 
【10】　R^3 cos(3θ) 
【11】　R^3 sin(3θ) 
【12】　(4R^2 - 3)R^2 cos(2θ) 
【13】　(4R^2 - 3)R^2 sin(2θ) 
【14】　(10R^4 - 12R^2 + 3)R cosθ 
【15】　(10R^4 - 12R^2 + 3)R sinθ 
【16】　20R^6 - 30R^4 + 12R^2 - 1 
【17】　R^4 cos(4θ) 
【18】　R^4 sin(4θ) 
【19】　(5R^2 - 4)R^3 cos(3θ) 
【20】　(5R^2 - 4)R^3 sin(3θ) 
【21】　(15R^4 - 20R^2 + 6)R^2 cos(2θ) 
【22】　(15R^4 - 20R^2 + 6)R^2 sin(2θ) 
【23】　(35R^6 - 60R^4 + 30R^2 - 4)R cosθ 
【24】　(35R^6 - 60R^4 + 30R^2 - 4)R sinθ 
【25】　70R^8 - 140R^6 + 90R^4 - 20R^2 + 1 
【26】　R^5 cos(5θ) 
【27】　R^5 sin(5θ) 
【28】　(6R^2 - 5)R^4 cos(4θ) 
【29】　(6R^2 - 5)R^4 sin(4θ) 
【30】　(21R^4 - 30R^2 + 10)R^3 cos(3θ) 
【31】　(21R^4 - 30R^2 + 10)R^3 sin(3θ) 
【32】　(56R^6 - 105R^4 + 60R^2 - 10)R^2 cos(2θ) 
【33】　(56R^6 - 105R^4 + 60R^2 - 10)R^2 sin(2θ) 
【34】　(126R^8 - 280R^6 + 210R^4 - 60R^2 + 5)R cosθ 
【35】　(126R^8 - 280R^6 + 210R^4 - 60R^2 + 5)R sinθ 
【36】　252R^10 - 630R^8 + 560R^6 - 210R^4 + 30R^2 - 1 
 
このように、無限に続きます。 
 
第37項目は、 R^6 cos(6θ) になるはずですが、 
第37項目で打ち切る場合は、本来第49項目である11次の球面収差 
 
【49】　924R^12 - 2772R^10 + 3150R^8 - 1680R^6 + 420R^4 - 42R^2 + 1 
 
を最後に置く流儀があるようです。 
 
 
ちなみに、第256項目は、 
 
　　155117520R^30 - 1163381400R^28 + 3931426800R^26 - 7909656300R^24 
　　　+ 10546208400R^22 - 9816086280R^20 + 6544057520R^18 
　　　- 3155170590R^16 + 1097450640R^14 - 271591320R^12 
　　　+ 46558512R^10 - 5290740R^8 + 371280R^6 
　　　- 14280R^4 + 240R^2 - 1 
 
だそうです。 


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高野智暢