概要

ルジャンドル多項式（Legendre polynomial）は、直交多項式系と呼ばれるものの一つです。
精密測定において、便利に使うことができます。
例えば、フォトマスクの形状測定に使われます。また、粗さ測定の高度な解析において使われることもあります。

そして何より、直交系という考え方が、測定技術において不可欠なのです。

こちらがルジャンドル多項式を並べてみたものです。

\begin{align}P_0(x) = 1\\[7px] P_1(x) = x \\[7px] P_2(x) = \displaystyle \frac{1}{2}(3x^2 - 1)\\[7px] P_3(x) = \displaystyle \frac{1}{2}(5x^3 - 3x)\\[7px] P_4(x) = \displaystyle \frac{1}{8}(35x^4 - 30x^2 + 3)\\[7px] P_5(x) = \displaystyle \frac{1}{8}(63x^5 - 70x^3 + 15x)\\[7px] P_6(x) = \displaystyle \frac{1}{16}(231x^6 - 315x^4 +105x^2 - 5)\end{align}

（ ... と続きます。）

そして、お約束の直交関係を書いてみましょう。

\begin{align}\int^1_{-1} P_m(x) P_n(x) dx = \displaystyle \frac{2}{2n+1} \delta_{mn}\end{align}

（ このページの本当の目的は、実は MathJax の使い勝手を試すことだったりします... ）
ルジャンドル多項式についてご紹介しているメルマガ記事として D-0008. Legendre多項式とフォトマスク があります。

作り方

それでは、実際にそれぞれの多項式を直交化法によって作ってみましょう。

計算することは、最初に用意した基底

\begin{align}\{ x^0 , x^1 , x^2 , x^3 , ... \}\end{align}

から、直交基底

\begin{align}\{ P_0(x) , P_1(x) , P_2(x) , P_3(x) , ... \}\end{align}

を作ることです。ここで、内積を

\begin{align}(f(x) , g(x)) = \int^1_{-1}f(x) g(x) dx\end{align}

と定め、Gram-Schmidt の直交化法：

\begin{align}f_n(x) = x^n - \sum^{n-1}_{k=0} \displaystyle \frac{( x^n, f_k(x))}{(f_k(x), f_k(x))}f_k(x)\end{align}

に当てはめると、

\begin{align} f_n(x) = x^n - \sum^{n-1}_{k=0} \displaystyle \frac{\int^1_{-1}f_k(x) x^n dx}{\int^1_{-1}\{ f_k(x) \} ^2 dx}f_k(x)\end{align}

を計算することになります。 これで、直交系はできますが、x=1 のときの値を揃えた関数系にしたいので、

\begin{align}\ P_n(x) = \displaystyle \frac{f_n(x)}{f_n(1)}\end{align}

とします。

n=0 のとき：

\begin{align}f_0(x)=x^0=1 \\[7px] P_0(x) = \displaystyle \frac{f_0(x)}{f_0(1)} = 1\end{align}

n=1 のとき：

\begin{align}f_1(x)=x^1-\sum^0_{k=0}\displaystyle \frac{\int^1_{-1}f_k(x)x^1 dx}{\int^1_{-1}\{ f_k(x) \} ^2 dx}f_k(x) = x-\displaystyle \frac{\int^1_{-1}x dx}{\int^1_{-1} dx} =x-0=x \\[7px] P_1(x)= \displaystyle \frac{f_1(x)}{f_1(1)} = \displaystyle \frac{x}{1} =x\end{align}

n=2 のとき：

\begin{align}f_2(x)&=x^2-\sum^1_{k=0}\displaystyle \frac{\int^1_{-1}f_k(x)x^2 dx}{\int^1_{-1}\{ f_k(x) \} ^2 dx}f_k(x) \\[7px] &= x^2- \displaystyle \frac{\int^1_{-1}f_0(x)x^2 dx}{\int^1_{-1}\{ f_0(x) \} ^2 dx}f_0(x) - \displaystyle \frac{\int^1_{-1}f_1(x)x^2 dx}{\int^1_{-1}\{ f_1(x) \} ^2 dx}f_1(x)\end{align}

となるので、積分を次のように計算します。

\begin{align}\int^1_{-1}f_0(x)x^2 dx = \int^1_{-1}x^2 dx = [\displaystyle \frac{1}{3}x^3 ]^1_{-1} = \displaystyle \frac{2}{3} ,\\[7px] \int^1_{-1}\{ f_0(x) \} ^2 dx = \int^1_{-1} dx = [x]^1_{-1} = 2 ,\\[7px] \int^1_{-1}f_1(x)x^2 dx = \int^1_{-1}x^3 dx = [ \displaystyle \frac{1}{4}x^4 ]^1_{-1} = 0 ,\\[7px] \int^1_{-1}\{ f_1(x) \} ^2 dx = \int^1_{-1}x^2 dx = [\displaystyle \frac{1}{3}x^3 ]^1_{-1} = \displaystyle \frac{2}{3} .\end{align}

これらの計算結果を代入して、

\begin{align}f_2(x) = x^2 - \displaystyle \frac{\frac{2}{3}}{2}\times 1 - \displaystyle \frac{0}{\displaystyle \frac{2}{3}}\times x = x^2 - \displaystyle \frac{1}{3} \\[7px] P_2(x)= \displaystyle \frac{f_2(x)}{f_2(1)}= \displaystyle \frac{f_2(x)}{1 - \frac{1}{3}} = \displaystyle \frac{3}{2}f_2(x) = \displaystyle \frac{1}{2}(3x^2 -1)\end{align}

n=3 のとき：

\begin{align}f_3(x)=x^3-\sum^2_{k=0}\displaystyle \frac{\int^1_{-1}f_k(x)x^3 dx}{\int^1_{-1}\{ f_k(x) \} ^2 dx}f_k(x)\end{align}

を計算します。奇関数の積分は0になるので、0になることが分かった項は消していきます。計算を続けると、

\begin{align} f_3(x) &= x^3- \displaystyle \frac{\int^1_{-1}f_0(x)x^3 dx}{\int^1_{-1}\{ f_0(x) \} ^2 dx}f_0(x) - \displaystyle \frac{\int^1_{-1}f_1(x)x^3 dx}{\int^1_{-1}\{ f_1(x) \} ^2 dx}f_1(x) - \displaystyle \frac{\int^1_{-1}f_2(x)x^3 dx}{\int^1_{-1}\{ f_2(x) \} ^2 dx}f_2(x) \\[7px] &= x^3- \displaystyle \frac{\int^1_{-1}x^3 dx}{\int^1_{-1} dx} - \displaystyle \frac{\int^1_{-1}x^4 dx}{\int^1_{-1} x^2 dx}x - \displaystyle \frac{\int^1_{-1}(x^2 - \frac{1}{3})x^3 dx}{\int^1_{-1} (x^2 - \frac{1}{3})^2 dx}(x^2 -\displaystyle \frac{1}{3}) \\[7px] &= x^3 - \displaystyle \frac{\int^1_{-1}x^4 dx}{\int^1_{-1} x^2 dx}x = x^3 - \displaystyle \frac{ [ \frac{1}{5}x^5]^1_{-1}}{ \frac{2}{3} }x \\[7px] &= x^3 - \displaystyle \frac{3}{2}\times 2 \times \displaystyle \frac{1}{5}x = x^3 - \displaystyle \frac{3}{5}x \\[7px] P_3(x) &= \displaystyle \frac{f_3(x)}{f_3(1)} = \displaystyle \frac{x^3 - \frac{3}{5}x}{1- \frac{3}{5}} = \displaystyle \frac{1}{2}(5x^3 -3x) \end{align}

n=4 のとき：

\begin{align}f_4(x)&=x^4-\sum^3_{k=0}\displaystyle \frac{\int^1_{-1}f_k(x)x^4 dx}{\int^1_{-1}\{ f_k(x) \} ^2 dx}f_k(x) \\[7px] & = x^4 - \displaystyle \frac{\int^1_{-1}f_0(x)x^4 dx}{\int^1_{-1}\{ f_0(x) \} ^2 dx}f_0(x) - \displaystyle \frac{\int^1_{-1}f_1(x)x^4 dx}{\int^1_{-1}\{ f_1(x) \} ^2 dx}f_1(x) - \displaystyle \frac{\int^1_{-1}f_2(x)x^4 dx}{\int^1_{-1}\{ f_2(x) \} ^2 dx}f_2(x) - \displaystyle \frac{\int^1_{-1}f_3(x)x^4 dx}{\int^1_{-1}\{ f_3(x) \} ^2 dx}f_3(x) \\[7px] & = x^4- \displaystyle \frac{\int^1_{-1}x^4 dx}{\int^1_{-1} dx} - \displaystyle \frac{\int^1_{-1}x^5 dx}{\int^1_{-1} x^2 dx}x - \displaystyle \frac{\int^1_{-1}(x^2 - \frac{1}{3})x^4 dx}{\int^1_{-1} (x^2 - \frac{1}{3})^2 dx}(x^2 -\displaystyle \frac{1}{3}) - \displaystyle \frac{\int^1_{-1}(x^3 - \frac{3}{5}x)x^4 dx}{\int^1_{-1} (x^3 - \frac{3}{5}x)^2 dx}(x^3 -\displaystyle \frac{3}{5}x) \\[7px] & = x^4- \displaystyle \frac{\int^1_{-1}x^4 dx}{\int^1_{-1} dx} - \displaystyle \frac{\int^1_{-1}(x^2 - \frac{1}{3})x^4 dx}{\int^1_{-1} (x^2 - \frac{1}{3})^2 dx}(x^2 -\displaystyle \frac{1}{3}) \\[7px] & = x^4- \displaystyle \frac{1}{2}\times [\displaystyle \frac{1}{5}x^5]^1_{-1} - \displaystyle \frac{\int^1_{-1}(x^6 - \frac{1}{3}x^4) dx}{\int^1_{-1} (x^4 - \frac{2}{3}x^2 + \frac{1}{9} ) dx}(x^2 -\displaystyle \frac{1}{3}) \\[7px] & = x^4- \displaystyle \frac{1}{5} - \displaystyle \frac{ [ \frac{1}{7}x^7 - \frac{1}{15}x^5]^1_{-1} }{[ \frac{1}{5}x^5 - \frac{2}{9}x^3 + \frac{1}{9}x]^1_{-1}}(x^2 -\displaystyle \frac{1}{3}) \\[7px] & = x^4- \displaystyle \frac{1}{5} - \displaystyle \frac{ \frac{2}{7} - \frac{2}{15}}{ \frac{2}{5} - \frac{4}{9} + \frac{2}{9}}(x^2 -\displaystyle \frac{1}{3}) \\[7px] & = x^4- \displaystyle \frac{1}{5} - \displaystyle \frac{6}{7}(x^2 -\displaystyle \frac{1}{3}) \\[7px] &= x^4- \displaystyle \frac{6}{7}x^2 + \displaystyle \frac{3}{35} \\[7px] P_4(x) &= \displaystyle \frac{f_4(x)}{f_4(1)} = \displaystyle \frac{x^4- \frac{6}{7}x^2 + \frac{3}{35}}{1- \frac{6}{7} + \frac{3}{35}} = \displaystyle \frac{35}{8}(x^4- \displaystyle \frac{6}{7}x^2 + \displaystyle \frac{3}{35})\\[7px] &= \displaystyle \frac{1}{8}(35x^4 -30x^2 +3) \end{align}

ルジャンドル多項式の導出は、メルマガ記事 A-0042. ルジャンドル多項式の作り方 の続きです。